Time series

Phase space

Modèle de Kuramoto

Le modele d'oscillateur le plus simple est l'oscillateur de phase $$\frac{d\phi}{dt} = \omega$$ La variabe $\phi$ représente la phase d'une trajectoire sur un cercle de rayon 1 en coordonnées polaires. En coordonnées cartésiennes, la trajectoire est $$(\cos(\omega t+\phi_{init}),\sin(\omega t+\phi_{init})).$$ L'oscillateur de phase a une periode $T = 2\pi/\omega$. Le paramètre $\omega$ est la fréquence naturelle ou intrinsèque de l'oscillateur. On peut rajouter un terme de forçage $I(t)$:

$$\frac{d\phi}{dt} = \omega + I(t)$$

Si le terme $I(t)$ est suffisament petit, la solution reste oscillante ($\phi$ repasse toujours par zéro).

On s'intéresse maintenant à une population de $N$ oscillateurs de phase couplés entre eux. Chaque oscillateur a sa propre frequence naturelle $\omega_i$, pour $i=1,...,N$. Chaque oscillateur interagit avec tous les oscillateurs sinusoïdalement, pour donner

$$\frac{d\phi_i}{dt} = \omega_i + \frac{K}{N}\sum_{j=1}^{N} \sin(\phi_j-\phi_i)$$

Le paramètre $K$ est la force de couplage et $N$ le nombre d'oscillateurs. Ce modèle est le modèle de Kuramoto.

On peut coupler chaque oscillateur avec seulement une partie des autres oscillateurs. En ce cas, la force de couplage devient une matrice $K$ de taille $N \times N$, avec $K_{i,j}$ la force de couplage de l'oscillateur $j$ sur l'oscillateur $i$ $$\frac{d\phi_i}{dt} = \omega_i + \sum_{j=1}^{N} K_{i,j} \sin(\phi_j-\phi_i).$$ Quand $K_{i,j} = K/N$, on retrouve le modèle de Kuramoto.